Лягушка на числовой прямой. Задача октября от IBM

Задача

Рассмотрим лягушку, сидящую в точке 0 на числовой прямой и перемещающуюся по целым координатам. С вероятностью p она перепрыгнет на единицу вправо, а с вероятностью (1-p) – на единицу влево. Пусть 0,5<p<1 и каждый прыжок является независимым событием.
Определите:

1. С какой средней скоростью лягушка будет двигаться в положительном направлении числовой оси?
2. сколько раз в среднем лягушка посетит каждое неотрицательное число?
3. Какова вероятность того, что лягушка окажется в точке 0 после 2n прыжков?

Решение опубликуйте в виде комментария

Архимедов винт

Изобретателем винта считается древнегреческий учёный, математик, физик, изобретатель и инженер Архимед, живший в 287-212 годах до нашей эры.

Нужно заметить, что винт Архимеда вовсе не был предназначен для крепежа. Архимед создал его как средство для подъёма воды из низко расположенных водоёмов в оросительные каналы.

В одном из своих сочинений Галилео Галилей назвал винт Архимеда «водяной улиткой Архимеда».

Изобретение Архимеда устроено гениально просто. В цилиндрическую трубу, установленную под углом к горизонтальной плоскости, помещён винт. Нижний конец цилиндрической трубы погружен в воду. Когда винт вращается, вода поднимается по трубе вверх. Винт приводится в движение вручную или с помощью ветряного колеса.

Винт Архимеда сразу же нашёл широкое применение. С его помощью осуществляли подъём воды в оросительные каналы. В Египте он до сих пор используется в устройствах для орошения полей. В дальнейшем древние греки начали использовать винт в прессах, с помощью которых выжимали сок из винограда для приготовления вина. Благодаря винту Архимеда, воду поднимали из глубоких колодцев. В Голландии это устройство применяли для того, чтобы отвоевать у моря территории для земледелия. Часть моря отгораживали дамбой, затем осушали его с помощью винта Архимеда.

Винт Архимеда стал прообразом современного шнека – стержня со сплошной винтовой поверхностью вдоль продольной оси. А шнек, в свою очередь, является частью механизма, предназначенного для перемещения груза вдоль винтовой поверхности внутри трубы. Практически каждая хозяйка пользуется в быту мясорубкой, одной из деталей которой является шнек. Архимедов винт стал прообразом судовых винтов и авиационных пропеллеров, движителей вездеходов, а также обычных винта и гайки.

Архимед. Повелитель чисел

Познавательный фильм о жизни великого математика

Как быстро что-то подсчитать?

Вычитание из степени десятки

Для вычитания числа из степени десятки, нужно последнюю его цифру заменить дополнением до десяти, а остальные (включая первые виртуальные нули) – дополнениями до девяти.

Примеры:
1000-725 = (9-7)(9-2)(10-5) = 275
100000 – 1237 = 100000 – 01237 = (9-0)(9-1)(9-2)(9-3)(10-7) = 98763

Математическое обоснование:
Правило следует из алгоритма вычитания столбиком.

Прибавление числа, близкого к степени десятки

Вместо прибавления числа, состоящего из девяток и оканчивающегося на 9 (8, 7, 6 и т.д.), прибавьте следующую большую степень десятки и вычтите 1 (2, 3, 4 и.т.д)

Примеры:
125+999 = 1125-1 = 1124
6528+996 =7258-4=7254

Математическое обоснование:
Для k-значного числа 99…9 = 100..00 – 1

Как быстро что-то подсчитать?

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся пятёркой, нужно умножить число, полученное отбрасыванием последней пятёрки на следующее в натуральном ряду, и к результату приписать 25.

Примеры:
65²
Умножаем 6 на 7, получаем 42. Приписываем 25, получаем 4225.

115²
Умножаем 11 на 12, получаем 132. Приписываем 25, получаем 13225.

Математическое обоснование:
Возведём в квадрат число 10n+5. (10n+5)² = 100n²+100n+25 = 100n(n+1)+25, откуда и следует данное правило.

Возведение в квадрат числа, близкого к круглому

Целесообразно воспользоваться формулами квадрата суммы или разности.

Примеры:
19² = (20-1)² = 400–40+1=361

42² = (40+2)² = 1600+160+4 = 1764

Математическое обоснование:
Формула квадрата суммы: (a+b)² = a²+2ab+b² 
Формула квадрата разности: (a-b)² = a²–2ab+b²

Эвклид

Эвклид - древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о жизни и деятельности Эвклида крайне ограничены. Известно, что он родом из Афин, был учеником Платона.

Sky Control

Тренируй внимательность и многозадачность

Проверьте и развивайте внимательность, навыки многозадачной работы и управления временем, играя в Sky Control: http:skycontrol.html. Здесь вы - авиадиспетчер. В воздушное пространство выходят самолёты, которые нужно направить на точки выхода своего цвета.

В ходе игры будут попадаться бонусы, к примеру, позволяющие просто перетаскивать самолёты мышкой или разворачиваться под острым углом. Чтобы активировать бонус, пролетите над ним.

Мешать выполнять задачу буду стаи птиц, грозовые облака, ветер и НЛО. За каждую из 30 миссий вы получите баллы, которые можно потратить на апгрейды.

Управление

Чтобы повернуть самолёт, нажмите на нём левой клавишей мыши, двигайте курсор, чтобы задать новый курс, и отпустите клавишу.

Людоед и гномики. Задача для приёма на работу в Microsoft

Задача

Голодный людоед поймал семерых гномиков и собрался их съесть. Он заявил им следующее: «Я запру вас на ночь в пещере, а на следующее утро построю в колонну и надену каждому красную или зелёную шапочку. Каждый гномик будет видеть, какие шапочки на стоящих перед ним, но не будет видеть свою собственную и тех, кто позади. Я буду спрашивать по очереди, начиная с последнего гномика, какого цвета на них шапочки. Тех, кто ответит неправильно, буду съедать, а ответивших верно – отпущу. То, что будет говорить каждый гном, услышат все, поэтому на мой вопрос вы должны будете ровным голосом сказать только «красная» или «зелёная», при попытках выразиться по-другому или при вариациях тона вся компания будет съедена сразу же». За ночь гномы придумали такую стратегию поведения, которая позволит большинству из них выжить. В чём она заключалась? Можно ли её применить, если цветов шапочек будет более двух?

Как быстро что-то подсчитать?

Умножение и деление на 5 и 25

Чтобы число умножить число на 5, его нужно разделить на 2 и умножить на 10. Чтобы число разделить на 5, его нужно умножить на 2 и разделить на 10.

Аналогично, умножение/деление на 25 заменяется делением/умножением на 4 и умножением/делением на 100

Примеры:
36х5
Делим 36 на 2, получаем 18. Умножаем 18 на 10 и получаем 180.

3/5
Умножаем 3 на 2 и получаем 6. Делим 6 на 10 и получаем 0,6

45/25
Умножаем 45 на 4, получаем 180. Делим 180 на 100, получаем 1,8

84х25
Делим 84 на 4, получаем 21. Умножаем 21 на 100 и получаем 2100.

Математическое обоснование:
Поскольку 5=10/2, умножение/деление на 2 можно свести к более простым умножениям/делениям на 2 и 10.

История математики. Гении Востока

История становления математики как науки интересно представлено в фильме компании BBC

Как быстро что-то подсчитать?

Умножение двузначного числа на 11

Чтобы двузначное число умножить на 11, сложите его первую и последнюю цифру. Если результат будет однозначным, впишите его между двумя цифрами первоначального числа, а если двузначным – прибавьте первую цифру результата к первой цифре первоначального числа, а вторую – впишите между цифрами.

Примеры:
45х11
Складываем 4+5=9. Поэтому результатом будет 495.

76х11
Складываем 7+6=13. Единицу прибавляем к семёрке, а тройку пишем в середину и получаем 836.

Математическое обоснование:
Пусть нужно двузначное число 10a+b. Умножить на 11. Результатом будет 110a+11b = 100a +10 (a+b) +b

Дорогие друзья!

Я, Мишаева Любовь Курбаналиевна, рада приветствовать вас на станицах моего образовательного блога! :)

Занимательная математика- это сайт об интересных свойствах чисел, занимательных конструкциях и многом другом. Здесь вы найдёте логические игры, статьи о нерешённых математических проблемах, любопытные факты о числах, Web-обзоры научных ресурсов Сети и море интересной информации.