Внеклассное мероприятие "Математическая мозаика"

Математика признана интеллектообразующим учебным предметом. Знания, умения и навыки, полученные школьниками на уроках математики находят практическое применение в будущем: в учебе, работе и быту. Государственный образовательный стандарт определяет цель современного образования - воспитание компетентного выпускника, т. е. создание условий для оптимального развития способностей ребенка к дальнейшему самообразованию и совершенствованию.
Хорошо организованная внеклассная работа  является неотъемлемой частью учебно-воспитательного процесса. Ученики СОШ №34 г.Махачкалы под руководством свои учителей-наставников подготовили и провели увлекательное общешкольное мероприятие "Математическая мозаика ".

Математика по неандертальски

"Новые русские бабки"

Царица наук

Песни про математику

Мастер-класс «Почему ЕГЭ-2017 по математике будет особенным?»

Посмотрите мастер-класс Анны Малковой о том, что нам следует ожидать на ЕГЭ-2017  по математике

Музыка простых чисел

Посмотрите увлекательное видео о магии простых чисел

История чисел

История возникновения чисел очень глубокая и давняя. Сама жизнь привела людей к тому, что стало просто необходимо использовать символы для написания чисел.
Перейдите по ссылке чтоб узнать историю

Рене Декарт

Рене Декарт - великий французский учёный, заложивший основы современной науки. Вот уже более трёх веков человечество живет под сенью знаменитого утверждения великого философа: "Мыслю, следовательно, существую".

Муха Декарта

Существует несколько легенд об изобретении системы координат, которая носит имя Декарта. 

Однажды Рене Декарт весь день пролежал в кровати, думая о чем-то, а муха жужжала вокруг и не давала ему сосредоточиться. 

Он стал размышлять, как бы описать положение мухи в любой момент времени математически, чтобы иметь возможность прихлопнуть ее без промаха. И ... придумал декартовы координаты, одно из величайших изобретений в истории человечества.

Применение координатного метода позволяет без труда определить положение объекта как на плоскости, так и в пространстве. 

Христиан Гюйгенс

Свой творческий путь Гюйгенс начал как математик, находясь под сильным влиянием трудов Архимеда и Декарта.
Достижением Гюйгенса, сразу принесшим ему известность, стало создание маятниковых часов...
Сериал представляет собой коллекцию небольших фильмов об исторических событиях и всемирно известных личностях: художниках и писателях, композиторах и учёных, путешественниках и философах, архитекторах и правителях, просветителях и реформаторах.

Ферзи на шахматной доске. Задача августа от IBM

Задача

Широко известна задача расположения восьми ферзей на шахматной доске так, чтобы они не угрожали друг другу. Один из вариантов её решения представлен ниже:

			Ф
						Ф
		Ф
							Ф
	Ф
				Ф
Ф
					Ф

Для решения же конкурсной задачи от IBM необходимо найти, какое наибольшее количество ферзей можно разместить на доске NxN так, чтобы каждый был под боем не более чем у одного ферзя. Требуется обосновать свой результат и найти требуемые расположения для досок 8х8 и 30х30. Решения должны представлять собой пары координат (х,у).

Иоганн Кеплер

Один из творцов астрономии нового времени. Открыл законы движения планет (законы Кеплера), на основе которых составил планетные таблицы. Заложил основы теории затмений. Изобрел телескоп, в котором объектив и окуляр — двояковыпуклые линзы...
Сериал представляет собой коллекцию небольших фильмов об исторических событиях и всемирно известных личностях: художниках и писателях, композиторах и учёных, путешественниках и философах, архитекторах и правителях, просветителях и реформаторах

Пятый постулат Евклида

Ещё в III веке до нашей эры в первой книге "Начал" Евклид сформулировал 5 постулатов: через две точки можно провести одну и только одну прямую; отрезок продолжается бесконечно; из любого центра можно провести окружность любым радиусом; все прямые углы равны между собой; через одну точку, лежащую вне прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.
Два тысячелетия все великие математики мира бились над неразрешимой проблемой, связанной с пятым постулатом Евклида. 

Что вы думаете об этом?

Сделайте собственные расчеты и дайте свой ответ в комментарии

Как быстро что-то подсчитать?

Упрощённые признаки делимости на 4 и 8

Обычно для проверки делимости на 4 применяется следующий признак: Если двуциферное окончание числа делится на 4, то и само число делится на 4.

Однако, использовав обобщённый признак делимости, заметим, что число 10 даёт остаток 2 при делении на 4. Поэтому переформулируем правило так: Если сумма последней цифры с удвоенной предпоследней делится на 4, то и само число делится на 4.

Аналогично для делимости на 8. Вместо проверки на делимость трёхциферного окончания, можно выполнять проверку суммы последней, удвоенной предпоследней и учетверённой третьей с конца цифры.

Примеры:
Число 1324
4+2*2=8 – делится на 4.
4+2*2+3*4=20 – не делится на 8

Число 6328
8+2*2=12 – делится на 4.
8+2*2+3*4=24 – делится на 8

Задача о двух мудрецах. Задача, вызвавшая множество споров в интернете

В следующей задаче на теорию чисел данные тоже придётся добывать по крупицам - но тем больше удовольствия принесёт результат!

Условие

У одного султана было два мудрых визиря. Захотел он проверить, насколько они сообразительны. Позвал он их обоих и сказал:
- Я загадал два числа от 2 до 100. Вы должны их мне назвать. 
При этом султан сообщил первому визирю произведение этих чисел, а второму - их сумму.
Первый визирь подумал и говорит:
- Я не знаю что это за числа
На что второй ответил:
- Я был в этом уверен.
Тогда первый говорит:
- В таком случае, я знаю, что это за числа.
Второй:
- Тогда и я знаю, что это за числа.

Какие числа загадал султан? Определи их, читатель, и ты окажешься мудрее обоих мудрецов, ибо они узнали числа, зная их сумму или произведение, а ты же не знаешь об этих числах ничего!

Это ещё одна из задач математического фольклора, способных спровоцировать форумную войну, будучи загаданной в интернете. Поэтому постараемся разобрать её решение довольно подробно.

Решение

Обозначим сумму чисел как S, а их произведение - как P. Сами числа пусть будут x и y x+y=S, xy=P.
Разберём реплики визирей.
- Я не знаю что это за числа, – сказал первый визирь (ему было сообщено P).
Отсюда мы извлекаем информацию о том, что x и y – это не пара простых чисел. Кроме того, их произведение не может быть однозначно разложено на два множителя, не превосходящие ста.

- Я был в этом уверен, – сказал второй визирь (ему было сообщена S).
Зададимся вопросом: в каком случае второй визирь не мог быть на все сто уверенным в том, что первый не угадает числа с первого раза? Во-первых, когда S представляется в виде суммы двух простых чисел. Во-вторых, когда существует такое разложение S в сумму S=a+(S-a), что произведение a(S-a) однозначно раскладывается на множители, меньшие ста. 
Таким образом, существует всего десять вариантов значения S, при которых вторым визирем могла быть сказана его реплика. Это числа 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53. Вот эту информацию и получил первый визирь после реплики второго.

- Я знаю что это за числа, – сказал первый визирь.
Итак, первый визирь знает, что xy=P и что x+y=11 или 17 или 23 или 27 или 29 или 35 или 37 или 41 или 47 или 53. Поскольку он может однозначно восстановить числа x и y, то произведение P таково, что сумма его сомножителей для одного варианта разложения равняется одному из десяти допустимых значений (ДДЗ), а для прочих – не равняется. Эту информацию получает перед своей репликой второй визирь.

- Я знаю что это за числа, – сказал второй визирь.
Второй визирь знает сумму чисел и узнал, что для произведения чисел существует единственный вариант разложения на множители, сумма которых равна одному из ДДЗ.
Поскольку он определил числа, то существует единственное разложение суммы S = a+(S-a) такое, что для произведения P=a(S-a) существует единственное разложение на множители P=b*(P/b), такое, что сумма b+P/b равна одному из ДДЗ.

А такое возможно лишь для суммы S=17 и произведения P=52.
Покажем теперь ещё раз как рассуждали мудрецы:
Первый мудрец рассуждает так: 
52=2*26=4*13, так что однозначный ответ я получить не могу.
- Я не знаю, что это за числа.

Второй мудрец рассуждает так:
17=2+15, 2*15=30, но и 5*6=30
17=3+14, 3*14=42, но и 6*7=42
17=4+13, 4*13=52, но и 2*26=52
17=5+12, 5*12=60, но и 6*10=60
17=6+11, 6*11=66, но и 3*22=66
17=7+10, 7*10=70, но и 2*35=70
17=8+9, 8*9=72, но и 2*36=72
Значит, первый мудрец в любом случае не сможет однозначно назвать задуманные султаном числа.

О чём и сообщает:
- Я был в этом уверен.

Теперь первый мудрец думает так:
Поскольку второй мудрец был уверен в том, что я с первого раза не назову загаданные числа, то сумма их равна одному из чисел: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47 или 53. При произведении, равном 52 мы имеем:
52=2*26; 2+26=28
52=4*13; 4+13=17 – вот это число входит в ДДЗ
Значит, я могу однозначно определить пару загаданных чисел: это 4 и 13.
И говорит:
- Я знаю, что это за числа.

Теперь второй мудрец думает так:
Первый мудрец после моей фразы понял, что сумма чисел равна 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47 или 53 и, зная своё произведение, получил однозначный ответ.

Пробуем перемножать числа, дающие в сумме 17:
2*15=30=5*6; 5+6=11 – в этом случае первый мудрец не смог бы однозначно найти числа
3*14=42=2*21; 2+21=23 – и в этом случае тоже
4*13=52=2*26; 2+26=28 – и тут второй вариант произведения не принадлежит указанным выше 10-ти числам, что и позволило первому визирю однозначно узнать загаданные числа. Продолжая перебор, окажется, что этот вариант – единственный, когда сумма множителей альтернативного произведения не равно одному из ДДЗ
5*12=60=3*20; 3+20=23
6*11=66=2*33; 2+33=35
7*10=70=2*35; 2+35=37
8*9=72=3*24; 3+24=27

Так что и второй мудрец может однозначно сказать, что знает загаданные числа.

Чтобы окончательно разобраться с задачей, разберём другой вариант загаданных чисел и поясним, почему данный диалог не мог состояться. Допустим, султан загадал числа 23 и 6.

Итак, первый визирь знает P=138, второй визирь знает S=29
- Я не могу однозначно определить числа, т.к. 138=23*6=46*3=69*2, - подумал первый визирь
- Хе, конечно, не можешь, - подумал второй, - т.к. любое произведение х*(29-х) не представляется однозначно произведением двух сомножителей.

Произошёл первый обмен репликами. Из него первый визирь узнал, что сумма чисел равна одному из (ДДЗ). Пробует:
69+2=71 – не подходит
46+3=49 – не подходит
23+6=29 – подходит!

Значит, он теперь числа может установить однозначно, о чём и сообщает.

Хорошо, а что же делает второй визирь? Он думает:
-Ага, значит, первому визирю было сообщено некоторое произведение P, причём при одном разложении его на множители сумма y1+P/y1 равна одному из ДДЗ (а именно, равна 29), а при остальных разложениях сумма y2+P/y2 не входит в ДДЗ
А дальше – тупик. Поскольку, первый визирь скажет, что отгадал числа и в случае, если были загаданы, к примеру, 2 и 27:
29=2+27; 2*27=54

54=2*27=3*18=6*9
2+27 входит в ДДЗ
3+18=21 не входит в ДДЗ
6+9=15 не входит в ДДЗ

И второй всё ещё не знает, что это была за пара: 23 и 6 или 2 и 27, и его последняя реплика в этом случае будет невозможна.

Ключевой момент в решении – существование такого S, входящего в ДДЗ, что для единственного P=a(S-a) существует единственное b+P/b, что входит в ДДЗ

Так что все 4 реплики могли быть произнесены только если были загаданы числа 4 и 13.

Инопланетяне и математика

Знаете ли вы, что первый научный проект по установлению контакта с инопланетянами предложил немецкий математик и астроном Карл Фридрих Гаусс 1820-м году.  Карл Фридрих 

Гаусс, страстно увлеченный геодезией, решил: чтобы пришельцы заметили наши послания, они должны быть хорошо видны с высоты птичьего полёта, поэтому он предложил вырубить значительную часть сибирской тайги в форме огромного треугольника и засеять его рожью или пшеницей. 

Марсиане увидят в телескопы аккуратную фигуру и поймут, что на Земле живут разумные существа.

Сегодня появление затейливых геометрических рисунков из полегшей на полях травы часто приписывают делу рук инопланетян, однако более вероятно что, таким образом люди хотят вступить в контакт с «зелёными человечками»

Карл Фридрих Гаусс - король математики

В первую ночь XIX века итальянский астроном Джузеппе Пиацци открыл первую из малых планет — Цереру (она оказалась и самой крупной из открытых по сей день почти двух тысяч — ее диаметр составляет около 800 км).

Некоторое время за планетой велись наблюдения. Однако вскоре путь Цереры приблизился к Солнцу, в лучах которого заметить планету было невозможно. А затем астрономы долго не могли найти планету на звездном небе.

За решение сложной по тем временам задачи — определение эллиптической орбиты планеты по трем наблюдениям (то есть зная ее положение на небе в три различных момента времени) — взялся молодой немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Работа была выполнена им весьма обстоятельно, и вскоре астрономы обнаружили Цереру в точном соответствии с расчетами.

История одной игры Вильгельма Аренса

Около полувека назад, - в конце 70-х годов - вынырнула в Соединенных Штатах одна игра, "игра в 15"; она быстро распространилась по всему цивилизованному миру и, благодаря несчетному числу усердных игроков, которых она заполонила, превратилась в настоящее общественное бедствие, в истинный бич человечества. Заглавный рисунок, заимствуемый из одного американского сочинения, изображает эту игру: коробку с 15 шашками, перенумерованными от 1 до 15, и одним свободным полем. Перед ящиком мы видим жертву игорной страсти, одного из многочисленных одержимых этой манией; в разгар полевой работы, он, поддавшись внезапно приступу игорной лихорадки, кинулся на колени перед демоном, которому поклонялся. Растерянность видна во всей его фигуре, во всех его чертах; лицо искажено отчаянием; правая рука нервно сжата в кулак; левая рука и наморщенный лоб охвачены судорогой. Кожа головы, после ряда усилий, скинула шляпу; волосы дико растрепаны. Забыт труд, покинута лошадь и плуг; на нем уселась пара птиц; даже заяц, обычно столь пугливый, сознает, что этот потерянный для мира маниак, всецело погруженный в 15 шашек своей коробки, не представляет для него ни малейшей опасности.

Читать далее 

ДЕМОВЕРСИЯ ЕГЭ 2017

ДЕМОВЕРСИЮ ЕГЭ 2017 ПО МАТЕМАТИКЕ БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ смотреть здесь

ДЕМОВЕРСИЯ ЕГЭ 2017

ДЕМОВЕРСИЮ ЕГЭ 2017 ПО МАТЕМАТИКЕ ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ смотреть здесь

Пифагор

Пифагор с рождения отличался удивительной красотой; когда стал взрослым, носил длинную бороду и диадему из золота. Его одаренность также проявилась в раннем возрасте.
Помимо доказательства теоремы Пифагора, этому математику приписывают подробное изучение целых чисел, пропорций и их свойств.

Пифагор. Знаете ли вы?

Пифагор — это не имя, а прозвище, данное ему за то, что он высказывал истину так же постоянно, как дельфийский оракул («Пифагор» значит «убеждающий речью»).

В результате первой же прочитанной лекции Пифагор приобрел 2000 учеников, которые не вернулись домой, а вместе со своими женами и детьми образовали громадную школу и создали государство, названное «Великая Греция», в основу которого были положены законы иправила Пифагора .

Был склонен к мистификациям и «демонстративности» в поведении.

Пифагор уделял большое значение физическим упражнениям, был олимпийским чемпионом по кулачному бою.

Лягушка на числовой прямой. Задача октября от IBM

Задача

Рассмотрим лягушку, сидящую в точке 0 на числовой прямой и перемещающуюся по целым координатам. С вероятностью p она перепрыгнет на единицу вправо, а с вероятностью (1-p) – на единицу влево. Пусть 0,5<p<1 и каждый прыжок является независимым событием.
Определите:

1. С какой средней скоростью лягушка будет двигаться в положительном направлении числовой оси?
2. сколько раз в среднем лягушка посетит каждое неотрицательное число?
3. Какова вероятность того, что лягушка окажется в точке 0 после 2n прыжков?

Решение опубликуйте в виде комментария

Архимедов винт

Изобретателем винта считается древнегреческий учёный, математик, физик, изобретатель и инженер Архимед, живший в 287-212 годах до нашей эры.

Нужно заметить, что винт Архимеда вовсе не был предназначен для крепежа. Архимед создал его как средство для подъёма воды из низко расположенных водоёмов в оросительные каналы.

В одном из своих сочинений Галилео Галилей назвал винт Архимеда «водяной улиткой Архимеда».

Изобретение Архимеда устроено гениально просто. В цилиндрическую трубу, установленную под углом к горизонтальной плоскости, помещён винт. Нижний конец цилиндрической трубы погружен в воду. Когда винт вращается, вода поднимается по трубе вверх. Винт приводится в движение вручную или с помощью ветряного колеса.

Винт Архимеда сразу же нашёл широкое применение. С его помощью осуществляли подъём воды в оросительные каналы. В Египте он до сих пор используется в устройствах для орошения полей. В дальнейшем древние греки начали использовать винт в прессах, с помощью которых выжимали сок из винограда для приготовления вина. Благодаря винту Архимеда, воду поднимали из глубоких колодцев. В Голландии это устройство применяли для того, чтобы отвоевать у моря территории для земледелия. Часть моря отгораживали дамбой, затем осушали его с помощью винта Архимеда.

Винт Архимеда стал прообразом современного шнека – стержня со сплошной винтовой поверхностью вдоль продольной оси. А шнек, в свою очередь, является частью механизма, предназначенного для перемещения груза вдоль винтовой поверхности внутри трубы. Практически каждая хозяйка пользуется в быту мясорубкой, одной из деталей которой является шнек. Архимедов винт стал прообразом судовых винтов и авиационных пропеллеров, движителей вездеходов, а также обычных винта и гайки.

Архимед. Повелитель чисел

Познавательный фильм о жизни великого математика

Как быстро что-то подсчитать?

Вычитание из степени десятки

Для вычитания числа из степени десятки, нужно последнюю его цифру заменить дополнением до десяти, а остальные (включая первые виртуальные нули) – дополнениями до девяти.

Примеры:
1000-725 = (9-7)(9-2)(10-5) = 275
100000 – 1237 = 100000 – 01237 = (9-0)(9-1)(9-2)(9-3)(10-7) = 98763

Математическое обоснование:
Правило следует из алгоритма вычитания столбиком.

Прибавление числа, близкого к степени десятки

Вместо прибавления числа, состоящего из девяток и оканчивающегося на 9 (8, 7, 6 и т.д.), прибавьте следующую большую степень десятки и вычтите 1 (2, 3, 4 и.т.д)

Примеры:
125+999 = 1125-1 = 1124
6528+996 =7258-4=7254

Математическое обоснование:
Для k-значного числа 99…9 = 100..00 – 1

Как быстро что-то подсчитать?

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся пятёркой, нужно умножить число, полученное отбрасыванием последней пятёрки на следующее в натуральном ряду, и к результату приписать 25.

Примеры:
65²
Умножаем 6 на 7, получаем 42. Приписываем 25, получаем 4225.

115²
Умножаем 11 на 12, получаем 132. Приписываем 25, получаем 13225.

Математическое обоснование:
Возведём в квадрат число 10n+5. (10n+5)² = 100n²+100n+25 = 100n(n+1)+25, откуда и следует данное правило.

Возведение в квадрат числа, близкого к круглому

Целесообразно воспользоваться формулами квадрата суммы или разности.

Примеры:
19² = (20-1)² = 400–40+1=361

42² = (40+2)² = 1600+160+4 = 1764

Математическое обоснование:
Формула квадрата суммы: (a+b)² = a²+2ab+b² 
Формула квадрата разности: (a-b)² = a²–2ab+b²

Эвклид

Эвклид - древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о жизни и деятельности Эвклида крайне ограничены. Известно, что он родом из Афин, был учеником Платона.

Sky Control

Тренируй внимательность и многозадачность

Проверьте и развивайте внимательность, навыки многозадачной работы и управления временем, играя в Sky Control: http:skycontrol.html. Здесь вы - авиадиспетчер. В воздушное пространство выходят самолёты, которые нужно направить на точки выхода своего цвета.

В ходе игры будут попадаться бонусы, к примеру, позволяющие просто перетаскивать самолёты мышкой или разворачиваться под острым углом. Чтобы активировать бонус, пролетите над ним.

Мешать выполнять задачу буду стаи птиц, грозовые облака, ветер и НЛО. За каждую из 30 миссий вы получите баллы, которые можно потратить на апгрейды.

Управление

Чтобы повернуть самолёт, нажмите на нём левой клавишей мыши, двигайте курсор, чтобы задать новый курс, и отпустите клавишу.

Людоед и гномики. Задача для приёма на работу в Microsoft

Задача

Голодный людоед поймал семерых гномиков и собрался их съесть. Он заявил им следующее: «Я запру вас на ночь в пещере, а на следующее утро построю в колонну и надену каждому красную или зелёную шапочку. Каждый гномик будет видеть, какие шапочки на стоящих перед ним, но не будет видеть свою собственную и тех, кто позади. Я буду спрашивать по очереди, начиная с последнего гномика, какого цвета на них шапочки. Тех, кто ответит неправильно, буду съедать, а ответивших верно – отпущу. То, что будет говорить каждый гном, услышат все, поэтому на мой вопрос вы должны будете ровным голосом сказать только «красная» или «зелёная», при попытках выразиться по-другому или при вариациях тона вся компания будет съедена сразу же». За ночь гномы придумали такую стратегию поведения, которая позволит большинству из них выжить. В чём она заключалась? Можно ли её применить, если цветов шапочек будет более двух?

Как быстро что-то подсчитать?

Умножение и деление на 5 и 25

Чтобы число умножить число на 5, его нужно разделить на 2 и умножить на 10. Чтобы число разделить на 5, его нужно умножить на 2 и разделить на 10.

Аналогично, умножение/деление на 25 заменяется делением/умножением на 4 и умножением/делением на 100

Примеры:
36х5
Делим 36 на 2, получаем 18. Умножаем 18 на 10 и получаем 180.

3/5
Умножаем 3 на 2 и получаем 6. Делим 6 на 10 и получаем 0,6

45/25
Умножаем 45 на 4, получаем 180. Делим 180 на 100, получаем 1,8

84х25
Делим 84 на 4, получаем 21. Умножаем 21 на 100 и получаем 2100.

Математическое обоснование:
Поскольку 5=10/2, умножение/деление на 2 можно свести к более простым умножениям/делениям на 2 и 10.

История математики. Гении Востока

История становления математики как науки интересно представлено в фильме компании BBC

Как быстро что-то подсчитать?

Умножение двузначного числа на 11

Чтобы двузначное число умножить на 11, сложите его первую и последнюю цифру. Если результат будет однозначным, впишите его между двумя цифрами первоначального числа, а если двузначным – прибавьте первую цифру результата к первой цифре первоначального числа, а вторую – впишите между цифрами.

Примеры:
45х11
Складываем 4+5=9. Поэтому результатом будет 495.

76х11
Складываем 7+6=13. Единицу прибавляем к семёрке, а тройку пишем в середину и получаем 836.

Математическое обоснование:
Пусть нужно двузначное число 10a+b. Умножить на 11. Результатом будет 110a+11b = 100a +10 (a+b) +b

Дорогие друзья!

Я, Мишаева Любовь Курбаналиевна, рада приветствовать вас на станицах моего образовательного блога! :)

Занимательная математика- это сайт об интересных свойствах чисел, занимательных конструкциях и многом другом. Здесь вы найдёте логические игры, статьи о нерешённых математических проблемах, любопытные факты о числах, Web-обзоры научных ресурсов Сети и море интересной информации.